Determine os valores de x e y nas figuras a seguir:
Questão 2
Calcule o valor de x na figura.
Questão 3
(Vunesp) O prefeito de uma cidade pretende
colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado
sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a
figura.
Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3
m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m3)
necessário para a construção da pirâmide será:
a) 36 b) 27 c) 18 d) 12 e) 4
Questão 4
(Unifor-CE) Uma pirâmide regular tem 6√3 cm de
altura e a aresta da base mede 8 cm. Se os ângulos internos da base e de todas
as faces laterais dessa pirâmide somam 1800°, o seu volume, em centímetros
cúbicos, é:
A pirâmide é uma figura geométrica
espacial, mais precisamente um poliedro.
Ela é composta por uma base e
um vértice. Sua base pode ser triangular, pentagonal,
quadrada, retangular, paralelogramo.
Já o vértice, corresponde ao ponto mais distante da
base da pirâmide e que une todas as faces laterais triangulares.
Em outros termos, a pirâmide é um sólido
geométrico de base poligonal que possui todos os
vértices num plano (plano da base). Sua altura corresponde a distância entre o
vértice e sua base.
Observe que o número de lados do polígono da base
corresponde o número de faces laterais da pirâmide.
Elementos da Pirâmide
Base: corresponde à região plana
poligonal na qual se sustenta a pirâmide.
Altura: designa a distância do vértice
da pirâmide ao plano da base.
Arestas: são classificadas em arestas
da base, ou seja, todos os lados do polígono da base, e arestas laterais,
segmentos formados pela distância do vértice da pirâmide até sua base.
Apótemas: corresponde à altura de cada
face lateral; são classificadas em apótema da base e apótema da pirâmide.
Superfície
Lateral: É a
superfície poliédrica composta por todas as faces laterais da pirâmide.
Tipos de Pirâmide
Segundo as bases e o número arestas que formam as
pirâmides, elas são classificadas em:
Pirâmide
Triangular: sua
base é um triângulo, composta de quatro faces: três faces laterais e a
face da base.
Pirâmide
Quadrangular: sua
base é um quadrado, composta de cinco faces: quatro faces laterais e a
face da base.
Pirâmide
Pentagonal: sua
base é um pentágono, composta de seis faces: cinco faces laterais e a face
da base.
Pirâmide
Hexagonal: sua base é um
hexágono, composta de sete faces: seis faces laterais e face da base.
No tocante à inclinação da base, as pirâmides são
classificadas de duas maneiras:
Pirâmides
Retas, que formam um
ângulo de 90º;
Pirâmides
Oblíquas, que
apresentam ângulos diferentes de 90º.
Área da Pirâmide
Para calcular a área total da pirâmide, utiliza-se
a seguinte fórmula:
Área total: Al + Ab
Onde,
Al: Área lateral (soma das áreas de todas
as faces laterais) Ab: Área da base
Volume da Pirâmide
Para calcular o volume da pirâmide, tem-se a
expressão:
O estudo dos ângulos é fundamental
para compreender conceitos ligados a geometria, trigonometria, entre
outros ramos da Matemática. O estudo dos ângulos é um dos responsáveis pelos
avanços que possuímos atualmente em vários ramos, como a navegação e a
astronomia. Um exemplo notável é o astrolábio náutico (inventado pelo
grego Hiparco) usado para medir ângulos. Nos séculos V e VI, os navegadores
construíram esse instrumento para medir a elevação das estrelas e do sol com o
intuito de localizar suas embarcações. Mais tarde, o astrolábio deu origem
ao sextante, mais simplificado, mas que cumpria a mesma função.
Definição de ângulo
Chama-se ângulo a região entre duas semirretas que
partem de uma mesma origem. Podemos dizer, ainda que um ângulo é a medida da
abertura de duas semirretas que partem da mesma origem.
Indica-se:
∠AOB, ∠BOA, AÔB, BÔA ou Ô.
O ponto “O” é o vértice do ângulo e as
semirretas OA¯¯¯¯¯¯¯¯ e OB¯¯¯¯¯¯¯¯ são os lados do ângulo.
Ângulos consecutivos
Dois ângulos são consecutivos se eles compartilham
um mesmo lado, ou seja, se o lado de um, for também o mesmo lado do outro.
Ângulos adjacentes
Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e
somente se, não compartilham pontos internos, ou seja, não estão sobrepostos um
ou outro.
Congruência (≅)
Para que ângulos possam ser considerados
congruentes (iguais), devem satisfazer os seguintes postulados:
reflexiva:
todo ângulo é congruente a si mesmo (aôb ≅ aôb)
simétrica:
se aôb ≅ côd, então côd ≅ aôb
transitiva:
se aôb ≅ côd e côd ≅ eôf então aôb ≅ eôf
Adição de ângulos
Se a semirreta OB é interna ao ângulo AÔC, o ângulo
AÔC é a soma dos ângulos AÔB e BÔC. Assim:
AÔC = AÔB + BÔC
Bissetriz de um ângulo
A bissetriz de um ângulo é a semirreta que parte do
vértice do ângulo e o divide em dois ângulos congruentes (iguais).
Formalmente falando, uma semirreta ob interna ao
ângulo aôc, é bissetriz desse ângulo se, e somente se, aôb ≅ bôc.
Ângulos opostos pelo vértice
Dizemos que dois ângulos são opostos pelo vértice
se as semirretas que os formam partem do mesmo vértice e são opostas aos lados
do outro.
α=β
Medida de um ângulo – amplitude
A medida de um ângulo é um número real positivo
associado a ele, de forma que:
Ângulos
congruentes têm medidas iguais e ângulos iguais são congruentes.
Se um
ângulo α é maior que um ângulo β, então a medida de α será maior que a medida
de β.
A soma de
dois ou mais ângulos é a soma das medidas de cada um desses ângulos.
Chamamos a medida de um ângulo de amplitude.
Unidades de medida de um ângulo
Grau (°)
A unidade principal de medida de um ângulo é o grau
(°).
1° (um grau) equivale a de
uma circunferência, ou seja, 1° corresponde a uma das 360 partes em que
uma circunferência foi dividida. Assim, uma circunferência inteira possui 360°.
Minuto ( ‘ )
Quando queremos expressar medidas de ângulos
menores que 1°, utilizamos a medida minuto ( ‘ ). Um minuto
corresponde a de
um grau, ou seja, 1 minuto (1’) corresponde a uma das 60 partes em que um
ângulo de 1° foi dividido.
Um grau possui 60 minutos (1º = 60′).
Segundo ( ” )
Quando queremos expressar medidas de ângulos
menores que 1°, utilizamos a medida segundo ( ” ). Um segundo corresponde
a 160 de um minuto, ou seja, 1 segundo (1”) corresponde a uma das 60
partes em que um ângulo de 1′ foi dividido.
Um minuto possui 60 segundos (1′ = 60”).
Grado
Esta medida não é muito usual.
Um grado corresponde a 910 de um grau, ou
seja, 1 grado (1 gr) corresponde a 9 das 10 partes em que um ângulo de 1° foi
dividido.
Classificação de ângulos
Os ângulos podem ser classificados de acordo com a
sua medida.
Ângulo agudo: ângulo com medida menor que 90º (0°
< α < 90°).
Ângulo reto: ângulo com medida igual a 90º.
Ângulo obtuso: ângulo com medida maior que 90º (90°
< α < 180°).
Ângulo raso: ângulo com medida igual a 0º ou 180º.
Ângulo Côncavo: ângulo com medida entre 180º e 360º.
Ângulo completo ou de uma volta: ângulo
com medida igual a 360°.
Ângulos complementares
Dizemos que dois ângulos são complementares quando
a sua soma equivale a 90°.
α+β=90o
Ângulos suplementares
Dizemos que dois ângulos são suplementares se, e
somente se, a sua soma for igual a 180°.
α+β=180o
Ângulos replementares
Dois ângulos são replementares quando a sua soma
for igual a 360°.
α+β=360o
Retas paralelas cortadas por uma transversal
Duas retas paralelas e distintas, r e s, cortadas
por uma outra reta transversal t delimitam oito ângulos, como na figura. Esses
ângulos serão suplementares ou congruentes.
Nesses casos, podemos atribuir alguns nomes
especiais, veja:
Para que uma equação seja considerada uma equação
linear deverá ser escrita da seguinte forma geral:
a1 x1 + a2x2 +a3x3 + … + anxn = b
Cada elemento dessa equação possui um significado: os elementos a1, a2, a3, … an são coeficientes das incógnitas x1, x2, x3, … , xn e o termo b é o termo independente (valor numérico da equação linear). O termo b pode assumir qualquer valor real, caso b assuma valor igual a zero a equação linear será homogênea.
Um determinado conjunto será a solução da equação linear se todos os elementos desse conjunto forem iguais às incógnitas da equação e ao substituirmos os elementos desse conjunto nas incógnitas da equação linear a igualdade a1 x1 + a2x2 +a3x3 + … + anxn = b deve ser verdadeira.
Veja um exemplo de quando um conjunto é solução de uma equação linear.
Exemplo: Dado o conjunto solução (0, 1, 2) e a equação linear -2x + y + 5z = 11, para verificar se é verdadeira essa solução deve-se substituir os valores 0, 1 e 10 nas suas respectivas incógnitas.
-2 . 0 + 1 + 5 . 2 = 11 0 + 1 + 10 = 11 11 = 11, como a igualdade é verdadeira, podemos concluir que o conjunto solução (0, 1, 10) é solução da equação -2x + y + 5z = 11
Notações importantes sobre a equação linear: • Quando os coeficientes das incógnitas forem todos iguais a zero e o valor numérico da equação for diferente de zero, essa equação não terá solução. • Quando os coeficientes das incógnitas forem todos iguais a zero e o valor numérico da equação for igual a zero, essa equação irá assumir qualquer valor real no seu conjunto solução.
Exemplo: Calcule para que valor de m a quadrada ordenada (1,2,-3,5) é solução da equação 3x + 5y – mz + t = 0
Devemos substituir os valores do conjunto solução nas incógnitas da equação:
3 . 1 + 5 . 2 – m . (-3) + 5 = 0 3 + 10 + 3m + 5 = 0 13 + 3m + 5 = 0 3m + 18 = 0 3m = -18 m = -18 : 3 m = -6 Portanto, para que o conjunto solução (1,2,-3,5) seja solução da equação, m deverá assumir valor igual a -6.
