Exercícios

Exercícios

Questão 1

Determine os valores de x e y nas figuras a seguir:

Questão 2

Calcule o valor de x na figura.

Questão 3

(Vunesp) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura.

Pirâmide

Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m3) necessário para a construção da pirâmide será:

a) 36
b) 27
c) 18
d) 12
e) 4

Questão 4

(Unifor-CE) Uma pirâmide regular tem 6√3 cm de altura e a aresta da base mede 8 cm. Se os ângulos internos da base e de todas as faces laterais dessa pirâmide somam 1800°, o seu volume, em centímetros cúbicos, é:

a) 576
b) 576√3
c) 1728
d) 1728√3
e) 3456

Triângulos

pirâmide é uma figura geométrica espacial, mais precisamente um poliedro.

Ela é composta por uma base e um vértice. Sua base pode ser triangular, pentagonal, quadrada, retangular, paralelogramo.

Já o vértice, corresponde ao ponto mais distante da base da pirâmide e que une todas as faces laterais triangulares.

Em outros termos, a pirâmide é um sólido geométrico de base poligonal que possui todos os vértices num plano (plano da base). Sua altura corresponde a distância entre o vértice e sua base.

Observe que o número de lados do polígono da base corresponde o número de faces laterais da pirâmide.

Elementos da Pirâmide

Pirâmide
  • Base: corresponde à região plana poligonal na qual se sustenta a pirâmide.
  • Altura: designa a distância do vértice da pirâmide ao plano da base.
  • Arestas: são classificadas em arestas da base, ou seja, todos os lados do polígono da base, e arestas laterais, segmentos formados pela distância do vértice da pirâmide até sua base.
  • Apótemas: corresponde à altura de cada face lateral; são classificadas em apótema da base e apótema da pirâmide.
  • Superfície Lateral: É a superfície poliédrica composta por todas as faces laterais da pirâmide.

Tipos de Pirâmide

Segundo as bases e o número arestas que formam as pirâmides, elas são classificadas em:

  • Pirâmide Triangular: sua base é um triângulo, composta de quatro faces: três faces laterais e a face da base.
  • Pirâmide Quadrangular: sua base é um quadrado, composta de cinco faces: quatro faces laterais e a face da base.
  • Pirâmide Pentagonal: sua base é um pentágono, composta de seis faces: cinco faces laterais e a face da base.
  • Pirâmide Hexagonal: sua base é um hexágono, composta de sete faces: seis faces laterais e face da base.

No tocante à inclinação da base, as pirâmides são classificadas de duas maneiras:

  • Pirâmides Retas, que formam um ângulo de 90º;
  • Pirâmides Oblíquas, que apresentam ângulos diferentes de 90º.

Área da Pirâmide

Para calcular a área total da pirâmide, utiliza-se a seguinte fórmula:

Área total: Al + Ab

Onde,

Al: Área lateral (soma das áreas de todas as faces laterais)
Ab: Área da base

Volume da Pirâmide

Para calcular o volume da pirâmide, tem-se a expressão:

V=1/3 Ab.h

Onde:

Ab: Área da base
h: altura

Ângulos

O estudo dos ângulos é fundamental para compreender conceitos ligados a geometria, trigonometria, entre outros ramos da Matemática. O estudo dos ângulos é um dos responsáveis pelos avanços que possuímos atualmente em vários ramos, como a navegação e a astronomia. Um exemplo notável é o astrolábio náutico (inventado pelo grego Hiparco) usado para medir ângulos. Nos séculos V e VI, os navegadores construíram esse instrumento para medir a elevação das estrelas e do sol com o intuito de localizar suas embarcações. Mais tarde, o astrolábio deu origem ao sextante, mais simplificado, mas que cumpria a mesma função.

Definição de ângulo

Chama-se ângulo a região entre duas semirretas que partem de uma mesma origem. Podemos dizer, ainda que um ângulo é a medida da abertura de duas semirretas que partem da mesma origem.

Indica-se: ∠AOB, ∠BOA, AÔB, BÔA ou Ô.

O ponto “O” é o vértice do ângulo e as semirretas OA¯¯¯¯¯¯¯¯ e OB¯¯¯¯¯¯¯¯ são os lados do ângulo.

Ângulos consecutivos

Dois ângulos são consecutivos se eles compartilham um mesmo lado, ou seja, se o lado de um, for também o mesmo lado do outro.

Ângulos adjacentes

Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, não compartilham pontos internos, ou seja, não estão sobrepostos um ou outro.

Congruência (≅)

Para que ângulos possam ser considerados congruentes (iguais), devem satisfazer os seguintes postulados:

  1. reflexiva: todo ângulo é congruente a si mesmo (aôb ≅ aôb)
  2. simétrica: se aôb ≅ côd, então côd ≅ aôb
  3. transitiva: se aôb ≅ côd e côd ≅ eôf então aôb ≅ eôf

Adição de ângulos

Se a semirreta OB é interna ao ângulo AÔC, o ângulo AÔC é a soma dos ângulos AÔB e BÔC. Assim:

AÔC = AÔB + BÔC

Bissetriz de um ângulo

A bissetriz de um ângulo é a semirreta que parte do vértice do ângulo e o divide em dois ângulos congruentes (iguais).

Formalmente falando, uma semirreta ob interna ao ângulo aôc, é bissetriz desse ângulo se, e somente se, aôb ≅ bôc.

Ângulos opostos pelo vértice

Dizemos que dois ângulos são opostos pelo vértice se as semirretas que os formam partem do mesmo vértice e são opostas aos lados do outro.

α=β

Medida de um ângulo – amplitude

A medida de um ângulo é um número real positivo associado a ele, de forma que:

  1. Ângulos congruentes têm medidas iguais e ângulos iguais são congruentes.
  2. Se um ângulo α é maior que um ângulo β, então a medida de α será maior que a medida de β.
  3. A soma de dois ou mais ângulos é a soma das medidas de cada um desses ângulos.

Chamamos a medida de um ângulo de amplitude.

Unidades de medida de um ângulo

Grau (°)

A unidade principal de medida de um ângulo é o grau (°).

1° (um grau) equivale a  de uma circunferência, ou seja, 1° corresponde a uma das 360 partes em que uma circunferência foi dividida. Assim, uma circunferência inteira possui 360°.

Minuto ( ‘ )

Quando queremos expressar medidas de ângulos menores que 1°, utilizamos a medida minuto ( ‘ ). Um minuto corresponde a  de um grau, ou seja, 1 minuto (1’) corresponde a uma das 60 partes em que um ângulo de 1° foi dividido.

Um grau possui 60 minutos (1º = 60′).

Segundo ( ” )

Quando queremos expressar medidas de ângulos menores que 1°, utilizamos a medida segundo ( ” ). Um segundo corresponde a 160 de um minuto, ou seja, 1 segundo (1”) corresponde a uma das 60 partes em que um ângulo de 1′ foi dividido.

Um minuto possui 60 segundos (1′ = 60”).

Grado

Esta medida não é muito usual.

Um grado corresponde a 910 de um grau, ou seja, 1 grado (1 gr) corresponde a 9 das 10 partes em que um ângulo de 1° foi dividido.

Classificação de ângulos

Os ângulos podem ser classificados de acordo com a sua medida.

Ângulo agudo: ângulo com medida menor que 90º (0° < α < 90°).

Ângulo reto: ângulo com medida igual a 90º.

Ângulo obtuso: ângulo com medida maior que 90º (90° < α < 180°).

Ângulo raso: ângulo com medida igual a 0º ou 180º.

Ângulo Côncavo: ângulo com medida entre 180º e 360º.

Ângulo completo ou de uma volta: ângulo com medida igual a 360°.

Ângulos complementares

Dizemos que dois ângulos são complementares quando a sua soma equivale a 90°.

α+β=90o

Ângulos suplementares

Dizemos que dois ângulos são suplementares se, e somente se, a sua soma for igual a 180°.

α+β=180o

Ângulos replementares

Dois ângulos são replementares quando a sua soma for igual a 360°.

α+β=360o

Retas paralelas cortadas por uma transversal

Duas retas paralelas e distintas, r e s, cortadas por uma outra reta transversal t delimitam oito ângulos, como na figura. Esses ângulos serão suplementares ou congruentes.

Nesses casos, podemos atribuir alguns nomes especiais, veja:

Exercícios

Questão 1

Resolver o sistema abaixo pela Regra de Cramer.

Questão 2

Resolver o sistema abaixo pela Regra de Cramer.

Questão 3

(UESP) Se o terno (x0, y0, z0) é a solução do sistema abaixo, então 3×0 + 5y0 + 4z0 é igual a:

a) -8
b) -7
c) -6
d) -5
e) -4

RESPOSTAS

Questão 1

(2; 3)

Questão 2

(1; 2; 3)

Questão 3

Alternativa ‘b

Equação Linear

Para que uma equação seja considerada uma equação linear deverá ser escrita da seguinte forma geral:

a1 x1 + a2x2 +a3x3 + … + anxn = b

Cada elemento dessa equação possui um significado: os elementos a1, a2, a3, … an são coeficientes das incógnitas x1, x2, x3, … , xn e o termo b é o termo independente (valor numérico da equação linear).
O termo b pode assumir qualquer valor real, caso b assuma valor igual a zero a equação linear será homogênea.

Um determinado conjunto será a solução da equação linear se todos os elementos desse conjunto forem iguais às incógnitas da equação e ao substituirmos os elementos desse conjunto nas incógnitas da equação linear a igualdade
a1 x1 + a2x2 +a3x3 + … + anxn = b deve ser verdadeira.

Veja um exemplo de quando um conjunto é solução de uma equação linear.

Exemplo:
Dado o conjunto solução (0, 1, 2) e a equação linear -2x + y + 5z = 11, para verificar se é verdadeira essa solução deve-se substituir os valores 0, 1 e 10 nas suas respectivas incógnitas.

-2 . 0 + 1 + 5 . 2 = 11
0 + 1 + 10 = 11
11 = 11, como a igualdade é verdadeira, podemos concluir que o conjunto solução (0, 1, 10) é solução da equação -2x + y + 5z = 11

Notações importantes sobre a equação linear:
• Quando os coeficientes das incógnitas forem todos iguais a zero e o valor numérico da equação for diferente de zero, essa equação não terá solução.
• Quando os coeficientes das incógnitas forem todos iguais a zero e o valor numérico da equação for igual a zero, essa equação irá assumir qualquer valor real no seu conjunto solução.

Exemplo:
Calcule para que valor de m a quadrada ordenada (1,2,-3,5) é solução da equação
3x + 5y – mz + t = 0

Devemos substituir os valores do conjunto solução nas incógnitas da equação:

3 . 1 + 5 . 2 – m . (-3) + 5 = 0
3 + 10 + 3m + 5 = 0
13 + 3m + 5 = 0
3m + 18 = 0
3m = -18
m = -18 : 3
m = -6
Portanto, para que o conjunto solução (1,2,-3,5) seja solução da equação, m deverá assumir valor igual a -6.

Exercícios

Questão 1

(Unicap – PE) Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da matriz A seja nulo.

Questão 2

(U.F. Ouro Preto – MG) Considere a matriz:

Questão 3

Calcule o Determinante: